12.21 מדגם לפי נפח ומדגם לפי בהירות

ההבדל הדרמטי בין מה שקל לנו לראות לבין מה שבאמת נמצא בחלל הוא סוגיה חשובה באסטרונומיה. אם נשתמש בדימוי של הרצשפרונג, קל הרבה יותר לראות את הלווייתנים מאשר את הדגים: את הלווייתנים רואים ממרחק גדול, אבל בכל נפח של מים יש הרבה פחות לווייתנים מדגים. חוק ההופכי של ריבוע המרחק וגיאומטריה פשוטה יעזרו לנו להבין אילו כוכבים הם הנפוצים ביותר בכל אזור בחלל.

השטף (flux) מכוכב קטן ביחס הפוך לריבוע המרחק, ולכן אפשר לראות כוכבים בעלי נגיהות (luminosity) גדולה ממרחק גדול יותר מכוכבים חלשים. דוגמה פשוטה תמחיש את ההבדל בין ספירת כוכבים עד בהירות נראית (apparent magnitude) מסוימת לבין ספירת כל הכוכבים בנפח מסוים. דמיינו שני כוכבים, אחד כמו השמש ואחד בעל נגיהות גדולה פי חמישה. אפשר לחשב באיזה מרחק כל כוכב נעשה בלתי נראה לעין (או לטלסקופ). נניח שאת כל הכוכבים דמויי השמש אפשר לראות עד מרחק של פרסק אחד. לפי חוק ההופכי של ריבוע המרחק, את כל הכוכבים בעלי נגיהות של פי חמישה מהשמש (L☉) נראה עד מרחק של √(5/1) = 2.24 פרסקים. המרחק הזה, לכל הכיוונים מכדור הארץ, מגדיר כדור.

נסמן ב-D את "מרחק הנראות" – המרחק המרבי שממנו אפשר לראות כוכב בעל נגיהות מסוימת. היחס בין נפח הכדור שבו אפשר לראות כוכבים בעלי נגיהות של חמש שמשות לבין נפח הכדור שבו אפשר לראות כוכבים דמויי שמש הוא:

(4π/3 · D₅³) / (4π/3 · D₁³) = (2.24/1)³ ≈ 11

במשוואה הזו, D₁ הוא קיצור למרחק הנראות של כוכב דמוי שמש, ו-D₅ – למרחק הנראות המרבי של כוכב בעל נגיהות גדולה פי חמישה משל השמש.

לכן, אילו היו בחלל מספרים שווים של כוכבים דמויי שמש ושל כוכבים בעלי נגיהות גדולה פי חמישה, היינו רואים וסופרים בערך פי 10 יותר כוכבים מהסוג הבהיר. או, אילו הכוכבים הבהירים היו נדירים פי 10 בכל נפח של חלל, היינו סופרים מספרים שווים בערך משני הסוגים. במילים אחרות, סקרים עד גבול בהירות מסוים מובילים תמיד להערכת יתר של המספר האמיתי של כוכבים בעלי נגיהות גדולה: כוכבים חלשים מטבעם נספרים בנפח קטן בהרבה מכוכבים בעלי נגיהות גדולה.

שימו לב שכשבונים יחס, הגורמים המספריים מצטמצמים. אפשר גם להפוך את המשוואה לשימושית יותר: לפי חוק ההופכי של ריבוע המרחק, L ∝ D², ולכן מרחק הנראות המרבי הוא D ∝ √L. אם נציב את זה במשוואה שלמעלה ונשתמש ביחידות של השמש, נמצא שמספר הכוכבים בעלי נגיהות L שאנחנו סופרים, בהשוואה לכוכבים דמויי שמש, גדל ביחס ל-L^3/2. אם נסמן ב-N_V את המספר האמיתי של כוכבים בעלי נגיהות L (בהשוואה לכוכבים דמויי שמש) בנפח מסוים, וב-N_B את המספר שאנחנו סופרים עד גבול בהירות נראית מסוים, אז:

N_V = N_B × L^-3/2

הנה דוגמה קיצונית עוד יותר: כוכב אחד דומה לשמש, והשני בעל נגיהות גדולה פי עשרים. את הכוכב הבהיר אפשר לראות עד מרחק של √20 = 4.47 פרסקים. לפי המשוואה שלמעלה, N_V = N_B × 20^-3/2 ≈ 0.01 N_B. במקרה הזה, גם אילו שני הסוגים היו מפוזרים בחלל באותה צפיפות, היינו סופרים כמעט פי 100 יותר כוכבים מהסוג הבהיר! או, אילו כוכבים בעלי נגיהות של 20 L☉ היו נדירים פי 100 מכוכבים דמויי שמש, היינו סופרים את שני הסוגים בשכיחות דומה.

עוד דוגמה שימושית היא כוכב בעל נגיהות נמוכה, כלומר ננס. כוכב בעל נגיהות של עשירית מזו של השמש אפשר לראות רק עד מרחק של √(0.1/1) = 0.32 פרסקים. למרחק נראות קטן יותר מתאים נפח קטן יותר שבו רואים את הכוכבים החלשים האלה, ולכן סקרים עד גבול בהירות מסוים צפויים להעריך בחסר את המספר האמיתי של כוכבים בעלי נגיהות נמוכה. לפי המשוואה שלמעלה, N_V = N_B × (0.1)^-3/2 ≈ 32 N_B. אילו ננסים היו מפוזרים בחלל באותה צפיפות כמו כוכבים דמויי שמש, בסקר שמוגבל לפי בהירות נראית היינו סופרים אותם בחסר של יותר מפי 30. או, אילו בחלל היו פי 30 יותר כוכבים בעלי נגיהות של 0.1 שמש מכוכבים דמויי שמש, היינו סופרים מספרים שווים משני הסוגים.

רשימות של הכוכבים הקרובים ושל הכוכבים הבולטים שונות מאוד. אבל כשיש לנו מפקד אמיתי של המספרים של כוכבים בעלי נגיהות גדולה ונמוכה בנפח מייצג של חלל, אפשר לתקן כל סקר ולנטרל את ההטיה לטובת כוכבים בעלי נגיהות גדולה. התוצאה היא מפקד אמיתי של לווייתנים ושל דגים.

→ הסעיף הקודם: 12.20 דיאגרמת הרצשפרונג-ראסל  |  הסעיף הבא: 12.22 כוכבים בגדלים שונים ←