כל מדידה מורכבת ממספר, מיחידת מידה ומאי-ודאות, או שגיאת תצפית. אי-הוודאות היא חלק בלתי נפרד מהמדידה: במדע אין מדידה מושלמת. למעשה, המילה "שגיאה" קצת מטעה, כי איש לא טעה. "אי-ודאות" הוא מונח טוב יותר, אבל נשתמש במינוח המקובל. השגיאה האקראית, או הפיזור, של המדידות קטנה ככל שמספר המדידות הבלתי תלויות גדל. למעשה, השגיאה התקנית פרופורציונית ל-1/√N, כאשר N הוא מספר המדידות שנעשו.
מה קורה אם אנחנו רק סופרים דברים? במקרה כזה אין יחידות, כי ספירה היא מספר טהור. פשוט:
ספירה = N
אם הדברים שסופרים נקבעים בתהליך אקראי, שגיאת הספירה היא:
שגיאה אקראית = √N
ולכן השגיאה היחסית היא:
שגיאה יחסית = שגיאה אקראית / ספירה = √N / N = 1/√N
הדרך הנכונה לציין מדידה של ספירה, יחד עם השגיאה שלה, היא:
ספירה = N ± √N
במילים אחרות, הספירה האמיתית נמצאת כנראה (בסבירות של כשני שלישים) בין N − √N ל-N + √N.
שגיאות ספירה חלות רק על אירועים שנקבעים בתהליכים אקראיים. במערכת השמש יש שמונה פלנטות, אבל לא נכתוב את המדידה הזו כ-8 ± 3, כאילו פעם אחת עשויים לספור 11 פלנטות ופעם אחרת 5. מצאנו את כל הפלנטות במערכת השמש, ואין שום אי-ודאות אקראית לגבי מספרן. יש מספרים שהם ספירות פשוטות, בלי שגיאה.
הסטטיסטיקה של ספירה חלה גם על תופעות מיקרוסקופיות. למשל, אם נמדדו בדגימה של חומר רדיואקטיבי 285 דעיכות בפרק זמן קבוע, השגיאה בספירה היא √285 = 17. נכתוב את המדידה כ-285 ± 17. השגיאה היחסית היא 1/17 = 0.059, כלומר כ-6%. אם נחכה זמן ארוך פי עשרה, החומר הרדיואקטיבי עשוי לתת 2,792 דעיכות, עם שגיאה סטטיסטית של √2792 = 53. נכתוב את המדידה כ-2,792 ± 53. השגיאה היחסית היא עכשיו 1/53 = 0.019, כלומר כ-2%. שימו לב: כשאספנו פי עשרה אירועים, השגיאה היחסית קטנה בערך פי √10 = 3.2, מ-6% ל-2%. השגיאה התקנית של תצפיות רבות קטנה פי √10 אם אוספים פי עשרה תצפיות.
עם 100 אירועים אקראיים, אי-הוודאות הסטטיסטית היא √100 = 10, כלומר דיוק של 10%. עם 10,000 אירועים, אי-הוודאות הסטטיסטית היא √10,000 = 100, כלומר דיוק של 1%. עם 1,000,000 אירועים מקבלים מדידה בדיוק של 0.1%, וכן הלאה. כשמספר האירועים קטן מאוד, אי-הוודאות גדלה. לאירוע יחיד, √1 = 1, והמתמטיקה מאשרת את מה שכבר ידענו: מאירוע אקראי יחיד אפשר ללמוד מעט מאוד!
המדע פועל לעיתים קרובות בגבול של שגיאות הספירה. אסטרונומים אוספים בטלסקופים פוטונים בודדים של אור, ומנסים לצבור מספיק ספירות כדי להקטין את השגיאות. מהפלנטות מגיע אלינו אור רב, ולכן המגבלות של גילוי אור חלות בדרך כלל רק על גופים בשוליים הרחוקים של מערכת השמש ומעבר להם.
בתוך מערכת השמש, היווצרות מכתשי פגיעה היא תהליך אקראי חשוב. נסו לספור מכתשים בתמונה של הרמות של הירח, הרוויות במכתשים, כדי לבדוק אם הסטטיסטיקה אקראית. בחרו את גודל המכתש הקטן ביותר שאתם יכולים למדוד בתצלום באופן אמין. עכשיו חלקו את התמונה לארבעה רבעים, וספרו את כל המכתשים בכל רבע. קראו למספרים האלה NA, NB, NC ו-ND. הם לא שווים, נכון? אבל ההבדלים ביניהם לא אמורים להיות גדולים בהרבה משגיאות הספירה, √NA, √NB, √NC ו-√ND. בדקו שזה אכן כך. לעומת זאת, הסתכלו על אזור בגודל דומה במישורי הלבה של הירח, ה"ימים". זו דוגמה לתהליכים גיאולוגיים שיצרו פני שטח צעירים, שבהם מספר המכתשים הקטן משקף תולדות פגיעה קצרות יותר.
→ הסעיף הקודם: 6.27 ספירת מכתשים | הסעיף הבא: 6.29 השדות המגנטיים של הפלנטות הארציות ←