15.27 הכבידה של גופים רבים

חוק הכבידה של ניוטון מבטא את כוח המשיכה בין שני גופים שנמצאים במרחק מסוים זה מזה. המשוואה מדויקת: אם יודעים במדויק את שתי המסות ואת המרחק ביניהן, אפשר לחשב במדויק את הכוח. מסלולו של כוכב כפול הוא מצב שיש לו פתרון מדויק. אבל אם יש יותר משני גופים קרובים זה לזה בחלל, הכבידה כבר אינה מתוארת במשוואה אחת. נדרשת מערכת של משוואות, ואין לה עוד פתרון מתמטי מדויק כללי. האסטרונומים אומרים שתיאור הכבידה במערכת של שלושה גופים או יותר הוא בעיה חישובית; כלומר, את כוח הכבידה אפשר לחשב בעזרת מחשב חזק, ודיוק גבוה יותר דורש כוח מחשוב רב יותר.

לעתים קרובות האסטרונומים יכולים להניח הנחה מפשטת חשובה. במערכת השמש, השמש מסיבית הרבה יותר מכל פלנטה, ולכן אפשר לחשב את מסלולה של כל פלנטה כאילו רק השמש משפיעה עליה. עקרונית, כשמחשבים את מסלול כדור הארץ, צריך להתחשב בהשפעה הכבידתית של מאדים, נוגה וכל שאר הפלנטות; וכשמחשבים את מסלול צדק, צריך להתחשב בהשפעה של מאדים, שבתאי וכל שאר הפלנטות. בפועל, הכוח בין כל שתי פלנטות זעיר לעומת הכוח בין השמש לכל פלנטה. (נסו בעצמכם! השתמשו בחוק הכבידה ובכל טבלה של מסות ומרחקים של גופים במערכת השמש, וחשבו את הכוח היחסי במקרים מסוימים).

הכבידה פשוטה להבנה כשגוף אחד מסיבי בהרבה מכל השאר: הגוף המסיבי מכתיב את התנועות של כל שאר הגופים. אבל מה קורה כשלגופים בחלל יש מסות דומות? הדוגמאות נעות מצביר כוכבים קטן ועד גלקסיה שלמה. אף כוכב אינו שולט בכבידה של המערכת, ולכן צריך לחשב את כוח הכבידה בין כל זוג כוכבים. כדי לבנות מודל של המערכת דרוש מספר עצום של חישובים.

אפשר להדגים את המורכבות של הכבידה של גופים רבים אם נחשב כמה חישובי כבידה דרושים כדי להעריך את הכבידה של מערכת כוכבים. נעבור בהדרגה משני כוכבים לשישה. (את הכבידה של כוכב בודד ומבודד אפשר לחשב, אבל זה לא מעניין במיוחד!) צריך לחשב את הכוח בין כל זוג כוכבים. כמובן, אין צורך לחשב את כוח הכבידה של כוכב על עצמו. אפשר גם לשים לב ש-F₁₃, כוח הכבידה של כוכב 1 על כוכב 3, שווה ל-F₃₁, כוח הכבידה של כוכב 3 על כוכב 1. (זכרו שאתם מושכים את כדור הארץ באותו כוח שבו הוא מושך אתכם). זה נכון לכל זוג כוכבים, ולכן צריך לחשב רק מחצית מכל הצירופים האפשריים.

איך גדל מספר הכוחות שצריך לחשב עם מספר הכוכבים? כשיש שני גופים, יש רק כוח אחד, שנתון בחוק הכבידה העולמי של ניוטון: F₁₂ = F₂₁ = GM₁M₂/R₁₂², כאשר M₁ ו-M₂ הן המסות של כוכבים 1 ו-2, ו-R₁₂ הוא המרחק ביניהם. בשלושה כוכבים יש שלושה כוחות: F₁₂, F₁₃ ו-F₂₃. (לשם קיצור, האינדקס מצרף את המספרים של שני הכוכבים שמדובר בהם). כשמספר הכוכבים גדל ל-4, 5 ו-6, מספר הכוחות גדל ל-6, 10 ו-15. קל להראות את הצורה הכללית של הרצף הזה. אם n הוא מספר הכוכבים במערכת, מספר הכוחות הנפרדים (כל גוף פועל על כל גוף אחר) הוא n(n − 1). אבל צריך לחלק בשניים, כי את הכוח בין כל זוג כוכבים צריך לחשב רק פעם אחת: F₁₄ = F₄₁, F₃₅ = F₅₃ וכן הלאה. התוצאה:

מספר הכוחות = ½ n(n − 1)

אפשר לבדוק שזה עובד אם מציבים את המספרים 2 עד 6: מספר הכוחות הוא 1, 3, 6, 10 ו-15. אבל שישה כוכבים הם צביר כוכבים זעום. איך גדל מספר הכוחות כש-n גדל מאוד? אם פותחים את הסוגריים, מספר הכוחות הוא n²/2 − n/2. כש-n גדול מאוד, n² ≫ n, ואפשר להזניח את האיבר השני. לכן, במספר גדול של כוכבים:

מספר הכוחות ∝ n²

פתרון הכבידה של גופים רבים הוא בעיה חישובית קשה מאוד: מספר החישובים גדל עם ריבוע מספר הכוכבים. חישוב הכבידה של 50 כוכבים קשה פי 25 מחישוב הכבידה של 10 כוכבים, וחישוב הכבידה של 1,000 כוכבים קשה פי 10,000. אתם יכולים לדמיין את החישוב שכרוך במודל של הכבידה בגלקסיה עם מיליונים ואף מיליארדי כוכבים? למחשב-על חזק לוקח שעות רבות לבצע את החישובים. החדשות הטובות הן שכוח המחשוב גדל באופן מעריכי במשך כמה עשורים. הדמיה של גלקסיה גדולה, או של נתח ניכר של היקום, הייתה בלתי אפשרית בשנות ה-70 של המאה העשרים; בשנות ה-80 היא הייתה אתגר, וכיום היא אפשרית. למעשה, לא תמיד דרושים מחשבי-על: חוקרים רבים משתמשים במחשבים שולחניים עם מעבדים מהירים רבים.

כך בונים האסטרונומים מודלים ממוחשבים של מערכות כוכבים. לכוכבים נותנים מיקומים התחלתיים בשלושה ממדים – לא במרחב האמיתי, אלא במרחב ה"חישובי" של המחשב. הכבידה שפועלת על כל כוכב מחושבת כסכום הכוחות שמפעילים עליו כל שאר הכוכבים. הכוח הזה משנה את תנועתו ואת מיקומו של כל כוכב. אחרי עדכון המיקום של כל כוכב, מחשבים מערכת חדשה של כוחות, והתוצאה שוב היא שינוי במיקום ובתנועה של כל כוכב. התהליך הזה חוזר שוב ושוב, וכל סבב חישובים מתבצע במרווח זמן מסוים אחרי הסבב הקודם. כך אפשר לחזות את תנועות הכוכבים לאורך פרק זמן.

האסטרונומים שעוסקים בעבודה כזאת הם מומחים בתכנות מחשבים. הם משתמשים בכל מיני תחבולות וקיצורי דרך חישוביים כדי לייעל את החישובים. למשל, הכבידה פועלת לפי חוק ריבוע המרחק ההפוך, ולכן כל כוכב מושפע יותר משכניו מאשר מכוכבים רחוקים; לכן אפשר להסתפק בדיוק נמוך יותר בחישוב הכוח בין זוגות כוכבים רחוקים זה מזה. כמו כן, כשכוכב מסוים נע לאט, אין צורך לחשב את הכוח עליו לעתים קרובות כל כך. התחכום הזה חוסך הרבה כוח מחשוב: במקום שדרישות המחשוב יגדלו ביחס לריבוע מספר הכוכבים, הן גדלות כמעט ביחס ישר למספר הכוכבים (ליתר דיוק, ביחס ל-n log n).

כדי לבנות מודל ממוחשב אפילו של גלקסיה צנועה בגודלה, צריך לחשב את הכבידה של מיליוני כוכבים במרווחי זמן רבים. העלייה המדהימה במהירות ובעוצמה של המחשבים המודרניים פתחה את תחום האסטרונומיה החישובית, שהפך לדרך שלישית להבין את היקום, לצד התצפיות והתאוריה. אפילו תחנת עבודה צנועה יכולה לבצע מיליארדי חישובים בשנייה. היכולת שלנו להדמות עצמים אסטרונומיים מורכבים "בתוך מחשב" העניקה לנו דרך חדשה לגמרי להתבונן ביקום.

→ הסעיף הקודם: 15.26 חומר אפל בגלקסיות  |  הסעיף הבא: 15.28 התפתחות גלקסיות ←