8.22 הסתברות ופגיעות

המדע מאפשר לנו לחזות אירועים מסוימים בוודאות כמעט מוחלטת. למשל, השמש בוודאי תזרח מחר. אם משחררים לבנה מהיד, היא בוודאי תיפול לקרקע. החורף בוודאי יהיה קר יותר מהקיץ. אבל יש בטבע אירועים שאינם מתרחשים בשום סוג של ודאות. כדי לתאר מצבים כאלה, המדע משתמש במושג ההסתברות.

הסתברות היא מספר טהור, בלי יחידות. הערך הגבוה ביותר שלה הוא 1: האירוע בוודאי יתרחש, או מתרחש תמיד. הערך הנמוך ביותר הוא 0: האירוע לא יתרחש, או לעולם לא מתרחש. אולי שמעתם על "סיכוי של אחד לעשרה" שקבוצה מסוימת תנצח במשחק, או על "10% סיכוי לגשם". אלה שתי דרכים לתאר הסתברות של 0.1.

אם יש יותר מתוצאה אפשרית אחת, אפשר לייחס לכל תוצאה הסתברות. מטבע יכול ליפול על "עץ" או על "פלי". במונחים של הסתברות, נאמר ש-p_עץ = p_פלי = 0.5 (כלומר, יש 50% סיכוי לכל אחת מהתוצאות), ו-p_עץ + p_פלי = 1 (כלומר, יש 100% סיכוי שהמטבע ייפול על עץ או על פלי). בכך אנחנו אומרים שאנחנו מכירים את כל התוצאות האפשריות, ושהסיכוי שהמטבע ייעצר על צידו זניח! בהטלת קובייה בעלת שש פאות, נתאר את התוצאות האפשריות כך: p₁ = p₂ = p₃ = p₄ = p₅ = p₆ = 1/6 ≈ 0.167. אנחנו יודעים גם ש-p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ + p₆ = 1.

הטלת מטבע והטלת קובייה הן דוגמאות למצבים שבהם התוצאה נקבעת באקראי. אבל שימו לב: שימוש בהסתברות אינו אומר בהכרח שהתהליך אקראי. למשל, לשחקן בייסבול מקצועי יכול להיות "ממוצע חבטות" של 0.330 – כלומר, בכל פעם שהוא עולה לחבוט יש לו סיכוי של כשליש להצליח לחבוט בכדור. אבל אם אתם הייתם עומדים מול כדורים שנזרקים במהירות של כ-150 קמ"ש ומניפים את המחבט באקראי, הסיכוי שלכם היה נמוך בהרבה. באופן כללי, אם יש n תוצאות שההסתברות שלהן שווה (כמו בקובייה), ההסתברות של כל תוצאה היא:

p = 1 / n

כלל החיבור של הסתברויות אומר:

p_{A או B} = p_A + p_B

הכלל הזה נכון כשהתוצאות מוציאות זו את זו: מטבע אינו יכול ליפול גם על עץ וגם על פלי, וקובייה נופלת רק על אחת משש הפאות שלה. לכן ההסתברות שתיפול על פאה מסוימת היא 1/6, והסכום של כל התוצאות האפשריות הוא 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1. כשמדובר באירועים בלתי תלויים, או בתכונות בלתי תלויות, משלבים את ההסתברויות בכלל הכפל:

p_{A וגם B} = p_A × p_B

למשל, נניח שבקורס באסטרונומיה יש 200 סטודנטים: חצי גברים וחצי נשים, ורבע מהם בשנת הלימודים האחרונה שלהם. אם הסטודנטים מתיישבים באקראי, ההסתברות שלידכם יושבת אישה היא 100 / 200 = 0.5. ההסתברות שלידכם יושב סטודנט בשנה האחרונה היא 50 / 200 = 0.25. לפי כלל הכפל, ההסתברות שלידכם יושבת סטודנטית בשנה האחרונה היא 0.5 × 0.25 = 0.125. ובחזרה לדוגמה הקודמת: ההסתברות לקבל שלוש פעמים ברציפות "עץ" (או שלוש פעמים "פלי") היא ½ × ½ × ½ = 0.125. באותו אופן, ההסתברות לקבל שלוש פעמים ברציפות שש בקובייה היא (1/6)³ ≈ 0.0046, כחצי אחוז. בממוצע, לא הייתם מצפים שזה יקרה עד שתטילו את הקובייה, שלוש פעמים ברציפות, כ-200 פעם. אירועים אקראיים בלתי תלויים זה בזה: ההסתברות של אירוע אחד אינה תלויה במה שקרה קודם. לכן ההסתברות שהמטבע ייפול על "עץ" היא 0.5, גם אם הוא נפל על "עץ" עשר פעמים ברציפות. אפשר להגדיר הסתברות רק כממוצע על פני מספר גדול של אירועים. אי אפשר לדעת מתי יתפרק אטום רדיואקטיבי בודד, אבל אפשר לדעת את ההסתברות הממוצעת להתפרקות של מספר גדול של אטומים.

עכשיו אפשר לקשר את הדיון הזה להסתברות של פגיעות של גופים בין-פלנטריים. פגיעה הרסנית מתרחשת בערך פעם במאה מיליון שנה. האחרונה התרחשה לפני 66 מיליון שנה. האם זה אומר שהפגיעה הבאה לא תקרה עוד 34 מיליון שנה? לא בהכרח! נראה שפגיעות גדולות הן אקראיות, ולא מחזוריות. אם אסונות כאלה קורים בממוצע פעם במאה מיליון שנה, הבא עשוי לקרות בעוד 34 מיליון שנה, או בעוד 150 מיליון שנה – או מחר.

כל זה נשמע מופשט מאוד. מה הסכנה האישית? אם p_impact היא 1 לכל מאה מיליון שנה, אז במהלך חיים של אדם (במספרים עגולים, מאה שנה), p_impact = 100 / 10⁸ = 10⁻⁶. אם באסון כזה ימות אחד מכל עשרה אנשים על פני כדור הארץ, הסיכוי שלכם למות בו הוא 10⁻⁷, אחד לעשרה מיליון. כדי להבין עד כמה המספר הזה זעיר: הוא קטן מעט מהסיכוי למות מהרעלת בוטוליזם, קטן פי אלף מהסיכוי למות בתאונת מטוס, וקטן פי מאה אלף מהסיכוי למות בתאונת דרכים. (הערכות אחרות, שכוללות גם פגיעות קטנות ושכיחות יותר, נותנות סיכון גבוה מעט יותר – אבל עדיין זעיר). פגיעות אסטרואידים הן אולי חומר טוב לסרטים, אבל הן לא סכנה סבירה במהלך חייכם.

→ הסעיף הקודם: 8.21 איומים מהחלל  |  הסעיף הבא: 8.23 פגיעות בצדק ←