למה כל כך קשה להבין את הגדלים והמרחקים של גופים שמימיים? חלק מההסבר נובע מסיבה פסיכולוגית. בני האדם נטו להתייחס אל עצמם כאל פסגה הבריאה ומקומם במרכז היקום. לכן קיימת התנגדות לרעיון שהשמים עשויים להכיל גופים גדולים הרבה יותר מאשר כדור הארץ. לאורך ההיסטוריה לאט לאט נוצרה ההכרה שכדור הארץ הוא רק חלק זעיר מיקום עצום. הסיבה השנייה היא מעשית. כפי שהיוונים ידעו, כמעט בלתי אפשרי למדוד את גודל הקווי של אובייקט מרוחק מאד ישירות בעזרת העין. אנחנו יכולים רק לציין את גודלו הזוויתי.
קשה להעריך גודל קווי או מרחק קווי. אנשים מדווחים לפעמים על גוף בלתי מוכר בשמים, ואומרים "זה נראה גדול כמו צלחת של ארוחת ערב", אבל הצהרה זו אינה מעבירה מידע שימושי. לעתים מטאור בהיר או כדור אש נראה בשמים. בעקבות אירוע שכזה מקבלים האסטרונומים דיווחים בדומה לזה "הגוף נראה קרוב, הוא נחת בדיוק מעל הגבעה." דיווחים אלה הם כמעט תמיד מוטעים. כדורי אש נוצרים בדרך כלל באטמוספרה העליונה, 60 עד 100 קילומטרים מעל המשקיפים. רצוי להשתמש במדידה זוויתית ולומר "כדור האש נראה בגודל של °½ על כיפת השמים, כמו הירח" זוהי אמירה נכונה. אבל, כדי לבצע המרה באופן לא מודע מגודל זוויתי לגודל קווי ולומר "זה היה גדול כמו מטוס" תהיה אמירה שגוייה, בדרך כלל, אם הגוף עצמו אינו מוכר.
היוונים הקדומים המציאו את טריגונומטריה, המאפשרת יחסים כמותיים בין זוויות, גדלים ליניאריים ומרחקים ליניאריים. באמצעות יחסים מתמטיים פשוטים, הכוללים טריגונומטריה בסיסית, אנו יכולים לחשב מרחקים של אובייקטים מרוחקים שגודלם ידוע (או גדלים, אם המרחקים ידועים).
זוויות ואמצעים ליניאריים ניתן לשלב במשוואה פשוטה מאוד הנקראת משוואת הזוויות קטנות. משוואה זו קושרת בין הגודל הזוויתי של הגוף לבין גודלו הליניארי והמרחק שלו מהצופה. אם שני גדלים מתוך השלושה ידועים, ניתן לחשב את הגודל השלישי. נסמן גודל הזוויתי של גוף ב- a, הנמדד בשניות קשת, נסמן את קוטר הגוף ב- d ואת מרחקו מאיתנו ב- D אזי משוואת הזוויות קטנות היא:
a / 206,265 = d / D
המספר 206,265 נקרא קבוע המדידה; הוא נשאר זהה בכל הייצוגים של המשוואה. המספר 206,265 הוא למעשה מספר שניות בזווית של 57.3 מעלות, שהיא זווית מיוחדת הנקראת – רדיאן. רדיאן מוגדר כזווית הנשענת על קשת שאורכה שווה לרדיוס אחד של מעגל. מאחר שהיקף המעגל הוא 2πr, גודל רדיאן במעלות הוא:
360 ° / 2 π = 57.3 °
או שהרדיאן הוא כשישית מהזווית של מעגל מלא. זוהי זווית חשובה עם יישומים רבים בגיאומטריה. הנה דוגמה לשימוש במשוואה זוויות קטנות. נניח שחבר שגובהו 2 מטר עומד בשדה, וגודלו הזוויתי של °½ , או 1800 שניות קשת.
מה המרחק של החבר ממך?
כדי לפתור את השאלה יש לארגן את המשוואה מחדש כך שנחלץ את משתנה המרחק D,
D = 206,265 d / a
באמצעות יחידות מטריות, נקבל
D = (2.1 x 105) x 2 / 1.8 x 103 = 2.3 x 102 meter = 230 meter
אם גובה החבר שלך הוא 2 מטר וגודלו הזוויתי של °½, אזי המרחק שלו ממך D הוא 230 מטרים. במילים אחרות, החבר שלך הוא נמצא במרחק כרבע קילומטר. שימו לב שאנו מעגלים את כל ההערכות שלנו לשתי ספרות משמעותיות מכיוון שמדידת הזווית אינה צפויה להיות מדויקת ביותר.
כפי שהבינו היוונים, ניתן להשתמש במשוואה הזוויות הקטנות כדי לחקור מרחקים אסטרונומיים. הם לא יכלו למדוד את קוטר הירח במדויק, אבל הם ידעו את הגודל הזוויתי שלו , שהוא בערך °½. אם אנו משתמשים בידע מודרני קוטר הירח כ- 3500 ק"מ, אזי אנו יכולים להעריך את המרחק שלו, כפי שעשינו עבור המרחק של החבר. הקוטר d ביחידות מטריות הוא 3×106 מטרים. המשוואה היה לקרוא
D = (2.1 × 105 × 3.5 × 106) / (1.8 × 103) ≅ 4 x 108 meter = 4 x 105 km
כלומר כ- 400,000 ק"מ. שימו לב לסימן "≅" כלומר "שווה בערך ל". זה שימושי כאשר ערכים מקורבים בגודל של 1° מעורבים בחישוב. במילים אחרות המדידה של גודל זוויתי היא מקורבת, ולכן האומדן המתקבל של המרחק חייב להיות גם מקורב.
הנה דוגמה נוספת לשימוש במשוואה הזוויות הקטנות: כמה גדולים הם המכתשים הקטנים ביותר שאנו יכולים לראות על פני הירח עם טלסקופ קטן? כדי לפתור זאת אנו מתחילים עם המידע על הטלסקופ, הוא בעל כושר הפרדה זוויתי המגיע לכדי שנית-קשת אחת "1. המרחק אל הירח הוא 384,000 ק"מ. אז אנחנו שואלים כמה גדול הוא גוף המשתרע על "1 במרחק שכזה. נארגן מחדש את משוואת הזוויות הקטנות
D = aD / 206,265
נציב את המרחק של הירח וזווית של שניית קשת אחת ונקבל
d = (1 x 3.8 x 105) / (2.1 x 105) = 1.8 kilometers
אנחנו יכולים לראות צורות קטנות בגודל קילומטר על פני הירח עם טלסקופ קטן. העין יכולה רק לבצע הפרדה זוויתית של כ- 3 דקות של קשת. כלומר, כשאתם מסתכלים על הירח, הצורות הקטנות ביותר שאתם יכולים לראות הם:
3 × 60 × 1.8 ≅ 320 kilometers
או כ 200 מייל. לבסוף, אם קוטר השמש הוא כ- 1.4 מיליון ק"מ, ומרחקה מאיתנו כ- 150 מיליון ק"מ (מרחק המכונה גם יחידה אסטרונומית אחת או .1A.U), מהו הגודל הזוויתי של השמש בשמים? אנחנו צריכים לפתור את המשוואה זוויות קטנות לאחר שנארגן אותה בפעם האחרונה
a = (d / D) x 206,265
החלפת ערכים עבור קוטר d ומרחק D למטרים נקבל
a = (1.4 x 106 / 1.5 x 108) x (2.1 x 105) = 1960"
כיוון שיש "3600 במעלה אחת, זווית זו 0.54° = 1960/3600. גודלם ומרחקם של השמש והירח, אך בגלל צירוף המקרים ששניהם מכסים אותו גודל זוויתי של חצי מעלה, ולכן הליקויים אפשריים.