כוחות הגאות מתחזקים מאוד כשגוף נמצא קרוב לפלנטה. כוח הגאות שהירח מפעיל על כדור הארץ, למשל, הוא שגורם לגאות ולשפל בים. כוחות הגאות גם מעוותים את צורתו של לוויין טבעי (ירח) שנמצא קרוב לפלנטה יותר משהם מעוותים לוויין רחוק ממנה. אם לוויין מגיע למרחק קריטי מהפלנטה, כוחות הגאות יכולים ממש לקרוע אותו לגזרים. המרחק הקריטי הזה נקרא גבול רוש (Roche limit), על שם האסטרונום הצרפתי אדואר רוש.
באדיבות ויקיפדיה
המיקום המדויק של גבול רוש תלוי בצפיפות, בחוזק ובצורה של הגופים, אבל בדרך כלל הוא נמצא במרחק של שניים עד שלושה רדיוסים של הפלנטה ממרכזה. בתוך הגבול הזה קשה ללוויין גדול לשרוד. חלליות, ולוויינים קטנים שגודלם פחות מקילומטר, יכולים לשרוד בתוך גבול רוש: אם הם עשויים מתכת, סלע שלם (לא סדוק) או קרח, החוזק של החומר מספיק כדי לעמוד בכוחות הקריעה. גופים גדולים יותר מתעוותים בהדרגה, עד שהמאמצים בתוכם גדלים כל כך שהם מתפרקים.
אם נחיל גדול של חלקיקים מקיף פלנטה מחוץ לגבול רוש, החלקיקים יכולים להתלכד ולהפוך לירח. בתוך גבול רוש הם לא יכולים להתלכד, ונשארים טבעת מפוזרת. זה מסביר למה טבעת נשארת טבעת כשהחלקיקים שלה קרובים לפלנטה: כוחות הגאות חזקים מכדי לאפשר להם להתקבץ לגוף אחד. כוחות שכבר הכרנו שומרים אז על החלקיקים בדיסקה דקה סביב קו המשווה של הפלנטה.
העקרונות האלה, שנראים מופשטים, נתמכים בתצפיות ישירות. כל מערכות הטבעות העיקריות נמצאות בתוך גבול רוש של הפלנטות שלהן. בכמה מהן, כמו בשבתאי, הקצה החיצוני קרוב לגבול רוש, במרחק של 1.8 עד 2.5 רדיוסים של הפלנטה. למה הקצוות של מערכות הטבעות לא נמצאים בכפולות גדולות יותר או קטנות יותר של רדיוס הפלנטה?
באדיבות teachastronomy
אולי תופתעו לגלות שאתם כבר יודעים מספיק כדי לחזות היכן נמצאים הקצוות החיצוניים של מערכות הטבעות! למעשה, די קל לחזות את העובדה הבסיסית הזו: צריך רק לחזור אל חוק הכבידה העולמי של ניוטון. המתמטיקאי הצרפתי אדואר רוש עשה זאת לראשונה, ב-1848. תארו לעצמכם שני חלקיקי טבעת זעירים במרחק X מהפלנטה. לכל חלקיק יש מסה m ורדיוס r (לשני החלקיקים אותה מסה ואותו גודל). לפלנטה יש מסה M ורדיוס R. נניח ששני החלקיקים נוגעים זה בזה. לפי חוק הכבידה של ניוטון, הכוח שמושך אותם זה לזה הוא:
F = Gm2/(2r)2
עכשיו נחשב את כוח הכבידה שמושך כל חלקיק אל הפלנטה. נקבל:
F = GMm/X2
לפי חוק הכבידה של ניוטון, הפלנטה מפעילה על החלקיק הקרוב כוח כבידה גדול יותר מאשר על החלקיק הרחוק. בעזרת חשבון דיפרנציאלי אפשר לחשב את ההפרש בין שני הכוחות האלה – כוח הגאות. הביטוי לכוח הזה הוא (אם לא למדתם חשבון דיפרנציאלי, תצטרכו לסמוך עלינו):
ΔF = (-2GMm/X3)Δr
האות היוונית Δ (דלתא) משמשת לעיתים קרובות במתמטיקה ובפיזיקה לציון תוספת קטנה או הפרש. לכן ΔF הוא שינוי קטן בכוח, ו-Δr הוא שינוי קטן במרחק. סימן המינוס אומר שהכוח גדל ככל שהמרחק מהפלנטה קטן. ההפרש במרחק בין מרכזי שני החלקיקים הוא רק שני רדיוסים של חלקיק:
ΔF =-4GMmr/X3
כוח הגאות ΔF נוטה להפריד בין שני החלקיקים הקטנים, ואילו כוח הכבידה ביניהם, F, מושך אותם זה אל זה. ממה שלמדנו על הטבעות, אפשר לצפות שבקצה החיצוני של הטבעת שני הכוחות האלה שווים. רחוק יותר מהמרחק הזה, כוח הכבידה F ישמור את החלקיקים יחד, והם יתאחדו ללוויין אחד. קרוב יותר, כוחות הגאות ירחיקו את החלקיקים זה מזה, והם ימשיכו לנוע בנפרד, כחלק ממערכת טבעות. לכן נשווה את שני הכוחות, ונחלץ מהמשוואה את המרחק X. נקבל:
Gm2/4r2 = -4GMmr/X3
או,
X3 = -16Mr3/m
כאן אפשר להתעלם מסימן המינוס, כי מעניין אותנו רק גודל הכוחות, ולא הכיוון שלהם. את המסה של הפלנטה אפשר לבטא בעזרת הצפיפות שלה והרדיוס שלה:
M = נפח × צפיפות = (4/3 πR3) × צפיפות הפלנטה.
המסה של חלקיק היא:
m = נפח × צפיפות = (4/3 πr3) × צפיפות החלקיקים.
אם נציב את שני הביטויים האלה במקום M ו-m, הקבועים 4/3 ו-π יתבטלו. ואם הצפיפות של החלקיקים שווה לצפיפות הממוצעת של הפלנטה, גם הצפיפויות יתבטלו! הביטוי נעשה פשוט הרבה יותר:
X3 = 16R3
או,
X ≈ 2.5 R
התוצאה הפשוטה הזו אומרת ששני הכוחות שווים כשהחלקיקים נמצאים במרחק של כ-2.5 רדיוסים של הפלנטה ממרכזה. קרוב יותר לפלנטה, כוח הכבידה בין החלקיקים כבר לא חזק מספיק כדי להחזיק אותם יחד מול כוח הגאות. במילים אחרות, טבעת יכולה להתקיים רק בתוך 2.5 רדיוסים של הפלנטה, ומחוץ לגבול הזה החלקיקים מתלכדים לירחים. וזה אכן בערך מה שאנחנו רואים!
כפי שהראה רוש עצמו כבר ב-1848, כוחות הגאות הם שקובעים היכן יש טבעות: הם לא מאפשרים לחלקיקי הטבעת להתלכד. אם הצפיפות של החלקיקים שונה מזו של הפלנטה, הקצה החיצוני של הטבעת נמצא במרחק אחר – וזה אכן מה שרואים בטבעות של הפלנטות השונות. אפשר לשכלל את התיאוריה, ולהביא בחשבון גם הבדלים בצפיפות החלקיקים, את הכוחות הנוספים שפועלים ביניהם ואת הצורה שלהם. אבל הדבר המדהים הוא שאפשר להסתכל בטלסקופ, למדוד את הממדים של הטבעות של שבתאי או של פלנטות אחרות, ואז לשבת עם עיפרון ונייר ולהסביר, בעזרת חוק הכבידה של ניוטון משנת 1687, למה הטבעות נראות כפי שהן נראות.
→ הסעיף הקודם: 7.10 כיצד נוצרו הטבעות? | הסעיף הבא: 7.12 ירחים של הפלנטות הגדולות ←