8.8 מסלולי השביטים

קפלר הסביר את הסדירות של תנועת הפלנטות בעזרת מסלולים אליפטיים. הוא גילה קשר בין זמן ההקפה של פלנטה (P) לבין מחצית הציר הגדול של המסלול שלה (a, חצי מהציר הארוך של האליפסה). אם מודדים את זמן ההקפה בשנים ואת מחצית הציר הגדול ביחידות אסטרונומיות, מקבלים:

(P_Years)² = (a_A.U).³

ברור שהקשר הזה נכון לכדור הארץ: מקבלים 1² = 1³. (כתרגיל, אפשר לבדוק אותו גם לפלנטות האחרות). קפלר גילה את הדפוס הזה במסלולים הרבה לפני שהאלי הבין ששביטים חוזרים במחזוריות. אבל הקשר נכון לכל תנועה סביב השמש, כולל המסלולים של השביטים. למשל, כירון (שסווג בתחילה כאסטרואיד, ועכשיו ידוע שהוא שביט) נע במסלול אליפטי בין שבתאי לאורנוס, ומחצית הציר הגדול שלו היא 13.7 יחידות אסטרונומיות. בחזקה שלישית, זה 2,571. לכן ריבוע זמן ההקפה הוא 2,571, וזמן ההקפה הוא √2571 ≈ 51 שנים. זה הזמן שלוקח לכירון להקיף את השמש.

אפשר להשתמש בחוק השלישי של קפלר כדי למצוא מרחקים מתוך זמני הקפה. למשל, מהתיעוד ההיסטורי אנחנו יודעים שהשביט האלי חוזר בערך כל 75 שנה. מה המרחק הממוצע שלו מהשמש? ריבוע זמן ההקפה הוא 5,625, ולכן גם מחצית הציר הגדול, ביחידות אסטרונומיות, בחזקה שלישית, היא 5,625. אם מוציאים שורש שלישי במחשבון, מקבלים שמחצית הציר הגדול היא כ-18 יחידות אסטרונומיות – כמעט המרחק של אורנוס מהשמש.

מה פירוש "המרחק הממוצע" של מסלול? לפלנטות אין מסלולים אליפטיים קיצוניים: המסלולים שלהן נראים כמו מעגלים מעט מעוכים. במקרה כזה, מוקדי האליפסה קרובים זה לזה, האקסצנטריות (מידת ה"מעיכה") קרובה לאפס, ומחצית הציר הגדול כמעט שווה לרדיוס של מסלול מעגלי. המסלולים של השביטים שונים לגמרי: האליפסות שלהם מוארכות מאוד, האקסצנטריות קרובה לאחת, ומוקדי האליפסה רחוקים זה מזה. המרחק הקטן ביותר מהשמש יכול להיות קטן בהרבה ממחצית הציר הגדול, ולכן בקירוב טוב המרחק הגדול ביותר מהשמש הוא פי שניים ממחצית הציר הגדול. בנקודה הרחוקה ביותר שלו מגיע השביט האלי לכ-35 יחידות אסטרונומיות מהשמש, בין מסלולי נפטון ופלוטו.

נניח שביטים שמגיעים במסלולם עד 100 יחידות אסטרונומיות מהשמש (בשולי חגורת קויפר) ועד 100,000 יחידות אסטרונומיות (בענן אורט). מה יהיה זמן ההקפה שלהם? זכרו שהמרחק הגדול ביותר הוא פי שניים ממחצית הציר הגדול. אם מציבים בחוק השלישי של קפלר מחצית ציר גדול של 50 ושל 50,000, מקבלים זמני הקפה של כ-350 שנה ושל כ-11 מיליון שנה!

לזמני ההקפה העצומים ולמסלולים המוארכים בענן אורט יש השלכה חשובה. לפי החוק השני של קפלר, גוף שמקיף את השמש "מכסה" שטחים שווים בזמנים שווים. במסלול אליפטי מאוד, פירוש הדבר שהשביט נע לאט הרבה יותר כשהוא רחוק מהשמש מאשר כשהוא קרוב אליה. כמה לאט? מחוק הכבידה של ניוטון אפשר להראות שהמהירות במסלול מעגלי היא:

v = √(GM/r)

במשוואה הזו G הוא קבוע הכבידה ו-M מסת השמש. אפשר להעריך את התשובה רק מתוך היחס v ∝ 1/√r. אם מחלקים שתי מהירויות זו בזו, G ו-M מתבטלים, ומקבלים:

v_Earth / v_comet = (r_comet / r_Earth)^1/2

במרחק של יחידה אסטרונומית אחת, מהירות ההקפה של כדור הארץ היא כ-30 קילומטרים לשנייה. לכן במרחק של 50,000 יחידות אסטרונומיות, מהירות ההקפה של שביט תהיה 30 × (1/50,000)^½ ≈ 0.13 קילומטרים לשנייה. התוצאה: שביט מבלה את רוב מסלולו בזחילה איטית, במרחק עצום מהשמש. שביט שזמן ההקפה שלו מיליון שנה מבלה רק שנה או שנתיים בתוך מסלולו של צדק, ורק כמה עשרות שנים בתוך תחום הפלנטות!

→ הסעיף הקודם: 8.7 חגורת קויפר  |  הסעיף הבא: 8.9 מהלך חיי שביט ←