הצעד המבריק ביותר של ניוטון היה לקשר בין התנועות על פני כדור הארץ לתנועות גרמי השמים. הוא ידע שכוח חייב לגרום לגוף, למשל תפוח, ליפול לכדור הארץ. הוא גם ידע כי על הירח חייב לפעול כוח ה כדי לגרום לו לנוע במסלול מעגלי כאשר הוא מקיף את כדור הארץ. האם יכול להיות שאותו כוח פועל גם על התפוח וגם על הירח? (לא ידוע האם הסיפור על ניוטון הזוכה לתובנה במהלך התבוננות בתפוח נופל נכון. אבל, קיים מטע תפוחים בסמוך לבית בו נולד ניוטון באנגליה!) חוק כוח הכבידה העולמי הוא אחד הגילויים החשובים ביותר בהיסטוריה של המדע.
ניוטון ביטא את חוקיו במתמטיקה. במילים, אנו יכולים לכתוב: כל חלקיק ביקום מושך כל חלקיק אחר עם כוח הנמצא ביחס ישר למכפלת המסות של החלקיקים, וביחס הפוך לריבוע המרחק בין החלקיקים. אנו מגדירים את כוח הכבידה ככוח משיכה עולמי; כלומר זוהי תכונה הקיימת בכל חפץ ביקום. ביטוי זה של כוח הכבידה אומר שאם ניתן להכפיל את מסת השמש, כוח המשיכה שבו השמש מושכת את כדור הארץ יוכפל. אבל, האם הכפלת המרחק ביניהם, תגרום להקטנת הכוח פי ארבעה? (שניים בחזקת שניים). באופן דומה, אם תשליש את מסת השמש, הכוח ישולש, אבל אם תשליש את המרחק, הכוח יקטן פי תשע.
כוח הכבידה הוא כוח המציית לחוק ההופכי של ריבוע המרחק. כלומר, הכוח פוחת עם ריבוע המרחק מן הגוף. ניוטון היה מסוגל להראות כי אם כוח הכבידה קטן בהתאם לחוק ריבוע המרחק, אזי מסלולי הפלנטות חייבים להיות אליפסות כאשר השמש באחד המוקדים. כאן הופיע סוף סוף הסבר אלגנטי לעבודה של קפלר. באמצעות חוק הכבידה העולמי של ניוטון ניתן היה לחזות בהצלחה את מועד חזרתו של כוכב שביט האלי במסלולו האליפטי סביב השמש – אישור מדהים לתיאוריה.
חוק הכבידה של ניוטון חל על כל שני גופים נפרדים. כיצד נוכל לחשב את כוח הכבידה על האדם, כאשר פועל עליו כוח משיכה של כל החלקים השונים המרכיבים את כדור הארץ? ניוטון המציא את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (חדו"א) כדי לפתור בעיה זו – באמצעות החדו"א התקבלה תוצאה כי גוף כדורי כמו כוכב לכת מתנהג כאילו כל המסה שלו נמצאת במרכזו. ניוטון ערף חישובים רבים בעלי ערך, אך אז קבר אותם במגירת שולחנו, בעוד מוחו הרעבתני מוצא בעיות חדשות להתמודד עמן. בעידודו של אדמונד האלי, האסטרונום המפורסם, הוא נאות לפרסם לבסוף את עבודתו בספר מאסטר בשם "Principia", בשנת 1687.
חוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון שייך לסוג נפוץ של חוקים הנקרא חוק הריבוע ההפוך. כוח הכובד הנובע ממסתו של גוף כלשהו תלוי בריבוע המרחק ההופכי. תלות זו אופיינית לכוחות רבים הנובעים מנקודה – למעשה, זוהי תכונה של המרחב התלת-ממדי שאנו חיים בו. אנו יכולים לדמיין קווי כוח הכבידה היוצאים בגוף כלשהו לכל הכיוונים. מידת הריכוז של קווי הכוח מייצגת את עוצמת כוח הכובד. צפיפות גבוהה מעידה על כוח חזק. שטח הפנים של כל מעטפית כדורית סביב הגוף היא 4πD2, כאשר D הוא המרחק הגוף. קווי הכוח מתפשטים יותר ויותר כשאנחנו מתרחקים מן הגוף. צפיפות הקווים יורדת בהתאמה לירידת העוצמה של כוח הכבידה. המספר הכולל של קווי הכוח הנובעים מהגוף, אבל הם מתפשטים על שטח ההולך וגדל הנמצא ביחס יחס ל- D2. לכן צפיפות קווי הכוח באזור מסוים הולכת ופוחתת עם הריבוע ההופכי של המרחק, כלומר פרופורציונלי לאחדחלקי D2
כוחות חשמליים ומגנטיים מצייתים לאותה מערכת יחסיםהדועכת עם המרחק כמו כוח הכבידה. ניתן להבין איך החוק ההופכי של ריבוע המרחק חל גם על קרינה ממנורה. תארו לעצמכם קרני אור הנעות ממקור אור. אם במרחק מסוים, האור הנפלט בכיוון מסוים מתפשט על יחידה אחת, ולאחר מכן, במרווח כפול, הוא משתרע על ארבע יחידות. עוצמת האור במרחק יורדת ל- 1/4 מעוצמתה הקודמת. באותו אופן, עוצמת האור במרחק הגדול פי שלוש מהמרחק הראשוני היא 1/9 מהעוצמה הראשונה. כה קל, בדומה לכוח הכבידה, מצייתת גם הקרינה הנובעת ממנורה לחוק הריבוע ההפוך.
לפניכם דרך החשיבה של אייזיק ניוטון, כפי שהוא השתמש בחוק ההופכי ש ריבוע המרחק כדי לחשב את מסלול התפוח נופל הוא השתמש באותו חוק לחישוב מסלול הירח סביב הארץ. אנו נשתמש בגיאומטריה פשוטה כדי לקבל תשובה מקורבת – נדרש חישוב מפורט לתוצאה מדויקת יותר. המרחק מירח למרכז כדור הארץ הוא לערך 60 פעמים רדיוס כדור הארץ. לכן, לפי חוק הריבוע ההופכי, כוח הכבידה של כדור הארץ במרחק הירח צריך להיות נמוך פי 602 מאשר על פני כדור הארץ. התאוצה של הירח שגורמת לו לסטות מן הנתיב הישר עקומה סביב כדור הארץ היא:
9.8 / 602 = 0.0027 m/s2
מכאן, שבכל שניה הירח נופל במסלולו סביב הארץ מרחק של 0.0014 מטר או רק 1.4 מ"מ לכיוון כדור הארץ. מהו המרחק שעובר הירח בשנייה אחת במסלולו סביב הארץ? יש לחלק את היקף המסלול בזמן ההקפה. זמן ההקפה הוא 27.3 ימים או
27.3 x 24 x 3600 = 2.36 x 106 seconds
שימו לב שחודש, זמן ההקפה של הירח מנקודת הראות של צופה בכדור הארץ, הוא – 29.5 ימים – ארוך יותר מזמן ההקפה השמימי. זאת, מפני שהארץ גם היא נעה במסלולה סביב השמש. לכן בשנייה אחת הירח עובר
(2 π 384,000) / 2.36 × 106 = 1.02 km.
עבור קטע קטן כל כך של המסלול אנו יכולים להתייחס אל הנתיב המעוקל כקו ישר ולהשתמש במשוואת זוויות הקטנה, אשר נותנת
a/ 206,265 = d / D → a = 206,265 (0.0014 / 1020) = 0.3 arcsec
זוהי הזווית שבה הירח חורג nמסלולו בכל שנייה בשל כוח הכבידה של כדור הארץ. הזווית שבה הירח מסתובב במסלולו היא
a/ 206,265 = d / D → a = 206,265 (1.02 / 384,000) = 0.5 arcsec
מספר דומה. כך אנו יכולים לראות כי חוק הריבוע ההופכי של כוח הכבידה מתאר את מסלול הירח.
למעשה, קל יותר לכתוב את חוק הכבידה במונחים מתמטיים מאשר לפרט אותו במילים. אם יש לנו שתי מסות MA ו- MB, שהמרחק ביניהן R, אזי חוק הכבידה של ניוטון מתאר את הכוח בין מסה A לבין מסה B באמצעות הביטוי
F = G MA MB / R2
המספר G הוא קבוע הכבידה, קבוע יסוד של הטבע. אם נמדוד מסה בקילוגרמים, מרחק במטר, וכוח ביחידות ניוטון אזי
G = 6.67 × 10-11 N×m2/kg2
קבוע זה הוא מספר זעיר – כוח הכבידה הוא למעשה כוח חלש מאוד. רק בשל כמויות עצומות של חומר כוח הכבידה הופך לכוח משמעותי.
באדיביות וויקיפדיה
המסה של כדור הארץ, 1024× 6 ק"ג, גורמת לתאוצה כלפי מטה שגודלה 9.8m/s2. אך כל גוף בעל מסה מושך כל גוף אחר בעל מסה, אז מה עם גופים אחרים? נניח ששתי ספינות בעלות מסה של 10,000 טון (107 ק"ג) נמצאות במים והמרחק ביניהן 100 מטר. כוח הכבידה ביניהן הוא:
(6.67 × 10-11 x 107 x 107) / (100) 2 = 0.67 N
נקבל באמצעות חוק התנועה השני של ניוטון, מסה / כוח = תאוצה, כי התאוצה על כל ספינה תהיה 10-8 × 6.7 מטר/שניה2. גודל זעיר מכדי שניתן יהיה למדוד אותו. כוח הכבידה של גופים אסטרונומיים גדול לאין-שיעור מכוח כבידה של גופים יומיומיים! אם אנחנו רוצים להשוות את כוח הכבידה של שני גופים שונים, אנחנו יכולים לבדוק את יחסים ללא צורך בקבוע הכבידה. כדי להשוות את כוח הכבידה היחסי של אובייקטים B ו- C על אובייקט A, נקבל:
FBA / FCA = (MB / MC) x (RCA /RBA)2
ניתן לצמצם את קבוע הכבידה ואת המסה של גוף A. אנחנו לכודים בכדור הארץ באמצעות כוח הכבידה שלו. בואו נשווה את כוח הכבידה של אובייקטים אחרים. באמצעות המשוואה שבה B הוא השמש ו- C הוא כדור הארץ, נבחן את הכוח היחסי הוא על גוף שלישי הנמצא על פני כדור הארץ
(2 × 1030/6 × 1024) x (6400 / 1.5 × 108) 2 = 6 × 10-4.
מכאן שגודל הכוח שמפעילה השמש הוא פחות מעשירית אחוז מכוח הכבידה שמפעיל כדור הארץ עליך. מה יחסי הכוחות בין שני אנשים היושבים בחדר לכוח שמפעילה הארץ? אם הם שוקלים 50 ק"ג והם במרחק של מטר אחד זה מזה, הכוח היחסי הוא:
(50/6 × 1024) × (6400 / 0.001) 2 = 2 × 10-9.
הכוח שמפעילים האנשים הוא מיליארדית מהכוח מרתק אותנו לכדור הארץ. מה עוד יכול למשוך שני אנשים, לכוח הכבידה יש השפעה מעטה מאוד על כך! חוק הכבידה העולמי של ניוטון משלב היטב עם חוקי התנועה שלו. כוח הכבידה הוא הכוח שמחזיק את הירח בתנועתו סביב כדור הארץ, או את כדור הארץ בתנועה סביב השמש. בהעדר כוח הכבידה, כדור הארץ היה פשוט נע בקו ישר בחלל, בדיוק כמו שתנוע אבן המסתחררת על חוט לאחר שהחוט נקרע. בחלל אין חיכוך או התנגדות אוויר, ולכן מערכת השמש יכולה לשמור על תנועותיה לאורך זמן רב מאוד. כמו כן, כוח הכבידה הוא כוח הפועל הדדית בין שני גופים, וממחיש את החוק השלישי של ניוטון. כדור הארץ מפעיל כוח כבידה עליך, אבל גםאתה מפעיל כוח כבידה שווה על כדור הארץ! כוח הכבידה פועל בטווח ארוכים. הוא יורדת בריבוע ככל שהמרחק גדל אך אינו מתאפס. באמצעות ההיגיון הזה ניוטון היה בטוח שכוח הכבידה הוא כוח אוניברסלי.
חשוב לזכור את ההבדל בין המסה והמשקל. מסה היא תכונה בסיסית של עצם או חלקיק. זה כמות של "דברים" או את מספר האטומים של משהו, הנמדד ביחידות של ק"ג. גורם זה קובע את גודלו של כוח הכובד. משקל תלוי במיקום שלך בחלל. על פני כדור הארץ, התאוצה בשל כוח הכבידה הארצי היא 9.8 מטר/שניה2 – בדרך כלל בהתחשב בסמל g (להבדיל מהקבוע העולמי G). זוהי עלייה במהירות של 9.8 מטרים לשנייה עבור כל שנייה במהלך נפילה סמוך לפני כדור הארץ. ערכו של g על הירח קטן יותר מפני שהוא מסיבי פחות, התאוצה על פני הירח בשל כוח הכבידה היא רק 1.6 מטר/שניה2 . אם תשקלו 60 ניוטון על כדור הארץ, תשקלו 10 ניוטון על הירח אך מסתכם לא תשתנה. במסלול סביב כדור הארץ, אתה תהיה חסר משקל. הסיבה לכך היא שאתה וחלליות נופלים באותה תאוצת כבידה, לכן כוח הפועל בינך לבין החללית. אתה גם תהיה חסר משקל הרחק בחלל, כאשר מרחקך מכל כוכב או או פלנטה יהיה גדול דיו. בכל המצבים האלה המסה שלך זהה. אבל המשקל שלך תלוי בכוח הכובד המקומי.
ניוטון האיש הכיל אוסף של סתירות. הוא היה צנוע כאשר הוא חושב על קודמיו. הוא אמר "אם ראיתי יותר מאחרים, זה בגלל שעמדתי על הכתפיהם של הענקים". עם זאת, הוא יכול להיות אכזרי עם עמיתים ויריבים. האיש שילד את ההשקפה הרציונלית והמכניסטית של היקום "עבודת השעון" הקדיש מאמצים רבים בחקר אלכימיה. לאחר מותו נמצאו באחוזה שלו אלפי עמודים של ניתוח מפורט של התנ"ך. קל יותר לשפוט את ניוטון המדען. הוא השתמש בחוק פשוט אחד כדי להבין מגוון עצום של השפעות בלתי קשורות לכאורה: משקלך, תפוח נופל מעץ, הירח נע סביב כדור הארץ, מסלול השביט או כוכבי הלכת הנעים סביב השמש. הסופר האנגלי, אלכסנדר פופ כתב את הפסוק החכם הזה בעקבות מותו של ניוטון:
"חוקי הטבע נחו במסתור;
אלוהים אמר "יהי ניוטון" ויהי אור!
Author: Chris Impey